刚刚突然想到一个问题，一堆数可以组成数列，那么一堆代数呢？

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V2EX 提问指南

这是一个创建于 3537 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

{1，2，3，4，5}是数列
{a,2a,3a,...na},a 是常数，那么这个也是数列
{x,2x,3x...nx},x不是常数，那么这个是数列吗？如果不是数列，也可以用数列的求和公式吗？

求解，我在计算极限的时候想到这个问题的：
题目图片

图片失效请点击

第 1 条附言 · 2015-03-30 10:52:39 +08:00

求法有2 ，但答案不一样，请看求法：
http://c.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a877bf9f2b5c25c10385243b58d.jpg

数列

3x...nx

代数

24 条回复 • 2015-03-31 07:36:44 +08:00

Aalen

2015-03-30 09:09:39 +08:00

呃，请问求和公式是怎么描述的，里面的变量在你理解是数还是常数？

Chigogo

2015-03-30 09:12:10 +08:00

@Aalen 我把e^x看成常数来理解。好像是a，a^2，a^3...a^n这样，但答案似乎不正确

Aalen

2015-03-30 09:19:16 +08:00

@Chigogo 那我觉得应该是你其他地方搞错了。

dofine

2015-03-30 09:23:10 +08:00

括号里面这一堆可以用等比数列的求和公式吧。。首项是 e^x，公比是 e^x，总共n项。
之后的步骤我就不会了。。
（高中数学扔了好多年

Chigogo

2015-03-30 09:23:34 +08:00

@Aalen 你的意思是可以这么做，只是我算错了？

Aalen

2015-03-30 09:25:34 +08:00

@Chigogo 可能是其他地方搞错了。。。好久不接触分析了，加上基本功又渣加上手头又没有笔纸。。。呃。。。

Chigogo

2015-03-30 09:35:01 +08:00

@dofine ![不同方法的差异] (http://c.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a877bf9f2b5c25c10385243b58d.jpg )

hahastudio

2015-03-30 09:39:01 +08:00

孩子，高数有级数这个概念

Chigogo

2015-03-30 09:42:41 +08:00

@hahastudio http://c.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a877bf9f2b5c25c10385243b58d.jpg
你怎么看？

Xs0ul

2015-03-30 10:28:56 +08:00

@Chigogo 求和没有问题，你可以试试求和后再用洛必达之类的方法算下极限。
后面的近似不对，因为外面还有^(1/x)，这样的近似误差太大了。

Xs0ul

2015-03-30 10:29:30 +08:00

@Chigogo 误差可参见： http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%281%2Fn*%28e%5E%28xn%29-1%29%2F%28e%5Ex-1%29%29%5E1%2Fx+as+x-%3E0

liboyue

2015-03-30 10:35:32 +08:00 via Android

第一个方法错的，第二个求导也有问题吧

Chigogo

2015-03-30 10:53:54 +08:00

@Xs0ul 我可以放在指数上近似，在指数上近似完全可以的，结果同样。

Xs0ul

2015-03-30 12:12:45 +08:00 via Android

@Chigogo 在指数上近似的意思是？可以写一下看看吗？

unknown32767

2015-03-30 15:16:10 +08:00

求和有问题
对不同的n 1-e^x和1-e^(nx)收敛速度不一样
考虑 n -> inf 的情况即是一例

unknown32767

2015-03-30 15:19:51 +08:00

所以说套用了求和公式之后反而使这个极限变复杂了

不如作近似 e^(ax) -> 1+ax (x->0)
结果原极限就成了 (1+(n+1)/2 x)^(1/x) 是不是很熟悉？;)

Chigogo

2015-03-30 17:06:08 +08:00

@Xs0ul 就是把e 放在下面，把整体放在"ln "里面然后把这个整体放在e 的上面，这样，就可以用等价无穷小替换了

Chigogo

2015-03-30 17:12:09 +08:00

@liboyue 求导问题？问题何在？

Chigogo

2015-03-30 17:13:44 +08:00

@unknown32767 你说的第二句没看懂，第一句好像明白了

monnand

2015-03-30 18:54:21 +08:00 via Android

显然还是数列啊，数列的定义就是一组按顺序排的数，你只要有个顺序，是数字就叫数列了。世界上压根没有一个东西叫数列求和公式。我觉得你这基本定义有点乱啊。。。

Chigogo

2015-03-30 20:54:30 +08:00

@monnand 等比数列求和公式。。。

unknown32767

2015-03-30 21:10:49 +08:00

@Chigogo 我就说说一种简单的解法……

别问为什么可以同时对所有 Σe^(ix) 作近似而 (1-e^(nx))/(1-e^x) 就不行_(:3」∠)_

凭感觉，猜的_(:3」∠)_

leopard080264

2015-03-30 21:26:13 +08:00 via iPad

全错，看样子像是高中生，因为你根本不了解洛必达使用条件，要么你大学数学上课走神了

Chigogo

2015-03-31 07:36:44 +08:00 via iPhone

@leopard080264 第二个是答案。。。