Voyty

为了找到函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限，我们可以分别考虑这两种情况。

### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

首先，令 \( u = \frac{1}{x} \)，那么当 \( x \to \infty \) 时，\( u \to 0 \)。此时，函数可以重写为：
\[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \]
其中 \( u = \frac{1}{x} \)。

当 \( u \to 0 \) 时，我们可以使用泰勒展开（ Taylor expansion ）对 \(\ln(1+u)\) 进行近似：
\[ \ln(1 + u) \approx u \]
因此，
\[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{u}{u} = 1 \]

所以当 \( x \to \infty \) 时，\( y \) 趋近于 1 。

### 当 \( x \) 趋近于 0 时

这部分需要小心处理。当 \( x \to 0^+ \)（从正数一侧接近 0 ）时，\( u = \frac{1}{x} \to \infty \)。此时，我们同样考虑 \( \ln(1 + u) \)：

当 \( u \to \infty \) 时，\(\ln(1+u)\) 的增长速度慢于 \( u \) 本身。因此，
\[ \ln(1 + u) \approx \ln(u) \]
所以，
\[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{\ln(u)}{u} \]

我们知道对于很大的 \( u \)，\( \ln(u) \) 相对于 \( u \) 增长得慢得多。实际上，由于
\[ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(u)}{u} = 0 \]
（这可以通过洛必达法则或者直观理解 \(\ln(u)\) 的增长速度不及 \( u \) 的增长速度来证明。）

因此，当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。

### 总结
- 当 \( x \to \infty \) 时，\( y \to 1 \)。
- 当 \( x \to 0^+ \) 时，\( y \to 0 \)。